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% 定义新的带灰色背景的说明环境 zremark
\newmdtheoremenv[
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  linecolor=gray!10
]{zremark}{说明}


\begin{document}
\title{11.9 注释}
\author{张志聪}
\maketitle

\begin{zremark}
  定理11.9.1前置条件: $f: [a, b] \to \mathbb{R}$是黎曼可积的函数，是否能说明当$a \leq x \leq b$时
  $f: [a, x] \to \mathbb{R}$也是黎曼可积的函数，即
  \begin{align*}
    \int_{[a, x]} f
  \end{align*}
\end{zremark}
我们可以定义$[a,b]$的一个划分$P := \{[a,x], (x, b]\}$，于是由定理11.4.1(h)可以得到结论。

\begin{zremark}
  定理11.9.1中
  \begin{align*}
    F(y) - F(x) = \int_{[a,y]} f - \int_{[a,x]} f = \int_{[x,y]} f
  \end{align*}
  如果严格使用定理11.4.1(h)应该是
  \begin{align*}
    F(y) - F(x) = \int_{[a,y]} f - \int_{[a,x]} f = \int_{(x,y]} f
  \end{align*}
  那么，是否可以推论出
  \begin{align*}
    \int_{[x,y]} f = \int_{(x,y]} f
  \end{align*}
\end{zremark}
这里可以使用定理11.4.1(h)，定义$[x,y]$的一个划分$ P:= \{\{x\}, (x,y]\}$，于是
\begin{align*}
  \int_{[x,y]} f & = \int_{\{x\}} f + \int_{(x,y]} f \\
                 & = 0 + \int_{(x,y]} f \\
                 & = \int_{(x,y]} f
\end{align*}

\end{document}